Producto escalar

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

producto

Ejemplo

producto

producto

producto

Expresión analítica del producto escalar

producto

Ejemplo

producto

producto


Expresión analítica del módulo de un vector

producto

producto

Ejemplo

producto

producto


Expresión analítica del ángulo de dos vectores

producto

Ejemplo

ángulo

ángulo

ángulo

Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores

producto

Ejemplo

ángulo

ángulo

ángulo

Interpretación geométrica del producto escalar

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

vector

PROYECCIÓN

PROYECCIÓN


OA' es la proyección escalar de u sobre el vector .

El vector proyección se calcula multiplicando la proyección escalar por un vector unitario de , de modo que obtenemos otro vector con la misma dirección.

La proyección escalar del vector u sobre v es el módulo de la proyección vectorial de u sobre v.

Ejemplo

Hallar la proyección del vector u = (2, 1) sobre el vector = (−3, 4).

proyección


Propiedades del producto escalar

1Conmutativa

propiedad

2 Asociativa

propiedad

3 Distributiva

propiedad

4

El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

propiedad


Producto escalar de vectores del espacio

Expresión analítica del producto escalar

Ejemplo

Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).

(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5


Expresión analítica del módulo de un vector

módulo don vector

Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas vector u = (−3, 2, 5) en una base ortonormal.

módulo

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

ángulo de dos vectores

Determinar el ángulo que forman los vectores vector u = (1, 2, −3) y = (−2, 4, 1).

producto escalar

producto escalar