Sucesiones acotadas inferiormente
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.
an ≥ k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Toda sucesión sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente y su límite es igual al ínfimo de la sucesión.
Sucesiones acotadas superiormente
Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.
an ≤ k'
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
Toda sucesión sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente y su límite es igual al supremo de la sucesión.
Sucesiones acotadas
Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.
k ≤ an ≤ K'
Ejemplos
an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n
Está acotada inferiormente
Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...
El mínimo es 1.
No está acotada superiormente.
bn = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n
Está acotada superiormente
Cotas superiores: -1, 0, 1, ...
El máximo es -1.
No está acotada inferiormente.
cn = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n
Está acotada superiormente
Cotas superiores: 2, 3, 4, ...
El máximo es 2.
Está acotada inferiormente
Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...
El ínfimo es 1.
dn = 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n
No está acotada.
Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo.
0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.
Por tanto la sucesión está acotada.
0.5 < a n ≤ 3
Está acotada superiormente, 1 es el máximo.
Está acotada inferiormente, -1 es el mínimo.
Está acotada.
−1 ≤a n ≤ 1