Qué significa progresiones en Matemáticas

Progresiones aritméticas

Las progresiones aritméticas son sucesiones de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

8, 3, -2, -7, -12, ...

3 - 8 = -5

-2 - 3 = -5

-7 - (-2) = -5

-12 - (-7) = -5

d= -5.

Cálculo del término general

1

a_n = a₁ + (n - 1) · d

8, 3, -2, -7, -12, ..

a_n= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13

2

a_n = a_k + (n - k) · d

a₄= -7 y d = -5

a_n = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13

Interpolación de términos

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

8,    3, -2, -7 ,    -12.

Suma de términos equidistantes

Sean a_i y a_j dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.

a_i + a_j = a₁ + a_n

a₃ + a_n-2 = a₂ + a_n-1 = ... = a₁ + a_n

8, 3, -2, -7, -12, ...

3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)

-4 = -4 = -4

Suma de n términos consecutivos

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...

Progresiones geométricas

Las progresiones geométricas son sucesiones en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.

Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

6 / 3 = 2

12 / 6 = 2

24 / 12 = 2

48 / 24 = 2

r= 2.

Cálculo del término general

1

a_n = a₁ · r^n-1

3, 6, 12, 24, 48, ..

a_n = 3· 2^n-1 = 3· 2ⁿ · 2^-1 = (3/2)· 2ⁿ

2

a_n = a_k · r^n-k

a₄= 24, k=4 y r=2.

a_n = a₄ · r^n-4

a_n = 24· 2^n-4= (24/16)· 2ⁿ = (3/2) · 2ⁿ

Interpolación de términos geométricos

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

3,      6, 12, 24 ,      48.

Suma de n términos consecutivos

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 3, 6, 12, 24, 48, ...

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

Producto de dos términos equidistantes

Sean a_i y a_j dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

a_i . a_j = a₁ . a_n

a₃ · a_n-2 = a₂ · a_n-1 = ... = a₁ · a_n

3, 6. 12, 24, 48, ...

48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12

144 = 144 =144

Producto de n términos equidistantes

Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...