Qué significa límites de sucesiones en Matemáticas

Concepto de límite

El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión

a₁= 1

a₂= 0.5

a₁₀₀₀= 0.001

a_{1000 000} = 0.000001

El límite es 0.

a₁= 0.5

a₂= 0.6666....

a₁₀₀₀= 0.999000999001

a_{1000 000} = 0.999999000001

El límite es 1.

a₁= 5

a₂= 7

a₁₀₀₀= 2 003

a_{1000 000} = 2 000 003

Ningún número sería el límite de esta sucesión, el límite es ∞.

Límite finito de una sucesión

Una sucesión a_n tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término a_k, a partir del cual todos los términos de a_n, siguientes a a_k cumplen que |a_n−L| < ε.

La sucesión a_n = 1/n tiene por límite 0.

Se puede determinar a partir de que término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), por pequeño que éste sea.

Como k>10 a partir del a₁₁ se cumplirá que su distancia 0 es menor que 0.1.

Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que 0.001.

A partir del a₁₀₀₁ se cumplirá que su distancia 0 es menor que 0.001.

También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:

Una sucesión a_n tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.

Límite infinito de una sucesión

Una sucesión a_n tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término a_k, a partir del cual todos los términos de a_n, siguientes a a_k cumplen que a_n> M.

El límite de la sucesión a_n= n² es +∞.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Si M es igual a 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a₁₀₁ superará a 10 000.

a₁₀₁= 101² = 10 201

Una sucesión a_n tiene por límite −∞ cuando para toda N >0 existe un término a_k, a partir del cual todos los términos de a_n, siguientes a a_k cumplen que a_n < −N.

Vamos a comprobar que el límite de la sucesión a_n= −n² es −∞.

−1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ...

Si N = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a₁₀₁ superará a −10 000.

a₁₀₁= −101² = −10 201