Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales.

  • r = r'               Sistema Compatible.
    • r = r'= n   Sistema Compatible Determinado.
    • r = r'≠ n   Sistema Compatible Indeterminado.
  • r ≠ r'               Sistema Incompatible.

Ejemplo

sistema

1. Tomamos la matriz de los coeficientes y le hallamos el rango.

rango

rango

r(A) = 3

2. Hallamos el rango de la matriz ampliada

matriz

determinante

r(A') = 3

3. Aplicamos el teorema de Rouché.

teorema de Rouché

teorema de Rouché

4. Se resuelve el sistema, si éste no es incompatible, por la regla de Cramer o por el método de Gauss

Tomamos el sistema que corresponde a la submatriz de orden 3, que tiene rango 3, y lo resolvemos.

regla de Cramer

regla de Cramer

regla de Cramer