Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

a11x1 + a12x2 + ....+a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ....+a2nxn = b2

...........................................

am1x1 + am2x2 + ....+amnxn = bm


xi son las incógnitas, (i = 1,2,...,n).

aij son los coeficientes, (i = 1,2,...,m) (j = 1,2,...,n).

bi son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).

aij y b i Pertenece ENE.

m, n Pertenece ENE;      

  m > n, ó, m = n, ó, m < n.


Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.

Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ...

Cuando bi = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

Solución de un sistema de ecuaciones lineales

La solución de un sistema de ecuaciones lineales es cada conjunto de valores que satisface a todas las ecuaciones.

Sistemas de ecuaciones equivalentes

Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen la misma solución, aunque tengan distinto número de ecuaciones.

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros.

Dos filas son iguales.

Una fila es proporcional a otra.

Una fila es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

Clasificación de sistemas de ecuaciones

Incompatible

No tiene solución.

Compatible

Tiene solución.

Compatible determinado

Solución única.

Compatible indeterminado

Infinitas soluciones.


Sistemas de ecuaciones escalonados

En los sistemas de ecuaciones escalonados cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.

x + y +   z =  3
       y + 2 z = - 1
             z = - 1

Si nos vamos a la 3a ecuación, tenemos que z=-1.

Sustituyendo su valor en la 2a obtenemos que y = 1.

Y sustituyendo en la 1a los valores anteriores tenemos que x= 3.


También es un sistema escalonado:

x + y + z = 4
      y +  z =  2

Como en este caso tenemos más incógnitas que ecuaciones, tomaremos una de las incógnitas (por ejemplo la z) y la pasaremos al segundo miembro.

x + y = 4 − z
         y = 2 − z

Consideraremos z= λ , siendo λ un parámetro que tomara cualquier valor real.

x + y = 4 − λ
         y = 2 − λ

Las soluciones son:

z = λ   y = 2 λ   x = 2.

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado.

Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).

matriz matriz


Ejemplos

3x +2y + z = 1 cierre
5x +3y +4z = 2
x + y - z = 1

solución

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sistema

solución

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sistema

solución

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Discusión de sistemas de ecuaciones lineales

Discutir un sistema es determinar si tiene solución y, caso de tenerla, saber si ésta es única.

Es decir, determinar si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.

Ejemplo

solución

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