Para estudiar la posición relativa de tres planos discutimos el sistema:
Y sean:
r = rango de la matriz de los coeficientes.
r'= rango de la matriz ampliada.
Las posicones relativas de los tres planos vienen dada por la siguiente tabla:
r | r' | Posición | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | 3 | 1. Planos secantes en un punto | |||||||
2 | 3 |
| |||||||
2 | 2 |
| |||||||
1 | 2 |
| |||||||
1 | 1 | 5. Planos coincidentes. |
1. Planos secantes en un punto
r=3, r'=3
2.1 Planos secantes dos a dos.
r = 2, r' = 3
Los tres planos forman una superficie prismática.
2.1 Dos planos paralelos y el tercero secante
r = 2, r' = 3
Dos filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales.
3.1 Planos secantes y distintos
r = 2, r' = 2
3.2 Dos planos coincidentes y uno secante
r = 2, r' = 2
Dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.
4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos
r = 1, r' = 2
4.2 Planos paralelos y dos coincidentes
r = 1, r' = 2
Dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.
5. Planos coincidentes
r = 1, r' = 1
Ejemplos
Hallar la posición relativa de los planos:
1.
Los tres planos son secantes dos a dos y forman una superficie prismática.
2.
Los tres planos se cortan en un punto.
3.
El segundo y tercer plano son coincidentes y el primero es secante a ellos, por tanto los tres planos se cortan en una recta.
4.
El primer y segundo plano son coincidentes y el tercero es paralelo a ellos.