Números complejos en forma binómica
Un número complejo en forma binómica es a + bi.
El número a es la parte real del número complejo.
El número b es la parte imaginaria del número complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real, ya que a + 0i = a.
Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.
El conjunto de los números complejos se designa por .
Operaciones de complejos en forma binómica
Suma de números complejos
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Resta de números complejos
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i
Multiplicación de números complejos
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =
=10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
División de números complejos
Números complejos en forma polar
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.
Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).
.
Expresión de un número complejo en forma polar.
z = rα
|z| = r r es el módulo.
arg(z) = es el argumento.
Operaciones de complejos en forma polar
Multiplicación de complejos en forma polar
645° · 315° = 1860°
Producto por un complejo de módulo 1
Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del origen.
rα · 1β = rα + β
División de complejos en forma polar
645° : 315° = 230°
Potencias de complejos en forma polar
(230°)4 = 16120°
Fórmula de Moivre
Raíz de complejos en forma polar
k = 0,1 ,2 ,3, … (n-1)
r (cos α + i sen α)
Binómica | z = a + bi |
---|---|
Polar | z = rα |
trigonométrica | z = r (cos α + i sen α) |
Pasar a la forma polar y trigonométrica:
z = 260º
z = 2 · (cos 60º + i sen 60º)
z = 2120º
z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)
z = 2240º
z = 2 · (cos 240º + i sen 240º)
z = 2300º
z = 2 · (cos 300º + i sen 300º)
z = 2
z = 20º
z = 2 · (cos 0º + i sen 0º)
z = −2
z = 2180º
z = 2 · (cos 180º + i sen 180º)
z = 2i
z = 290º
z = 2 · (cos 180º + i sen 180º)
z = −2i
z = 2270º
z = 2 · (cos 270º + i sen 270º)
Escribe en forma binómica:
z = 2120º
z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)
z =10º = 1
z =1180º = −1
z =190º = i
z =1270º = −i