Limites de funciones

Límite de una función en un punto

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.

x f(x)
1,9 3,61
1,99 3,9601
1,999 3,996001
... ...
2 4
x f(x)
2,1 4.41
2,01 4,0401
2,001 4,004001
... ...
2 4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .

Concepto de límite

cONCEPTO DE LÍMITE

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

Definición por entorno si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio pertenece , existe un entorno de x0 , Eδ(x0) , cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro del entorno de L , Eε(L).

Límites laterales

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x pertenece (a+δ, a ) , entonces |f (x) - L| <ε .

Límicte por la izquierda

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x pertenece (a, a + δ), , entonces |f (x) - L| <ε .

Límite por la derecha

El límite de una función en un punto si existe, es único.

Función a trozos

Límites laterales

limite por la izquierda

limite por la izquierda

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

Ejemplo

Dada la función:

función

Hallar límite.

limite por la izquierda

limite por la derecha

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.

Limites infinitos

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x tiende a, si fijado un número real positivo K>0 se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a a.

Límite infinito positivo

límite

Límite en el infinito

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x tiende a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

Límite infinito negativo

Función

Límite en menos infinito


Límites en el infinito

Límite cuando x tiende a infinito

Lïmites cuando x tiende a más infinito

Límite cuando x tiende a menos infinito

Límites cuando x tiende a menos infinito


Cálculo de límites

Gráfica

Límites infinitos

Gráfica

Límites en el infinito

Gráfica