Inecuaciones de segundo grado

Consideremos la inecuación:

x2 − 6x + 8 > 0

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

x2 − 6x + 8 = 0

solución a la ecuación


Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

gráfica

P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

gráfica

S = (-∞, 2) Unión (4, ∞)


x2 + 2x +1 ≥ 0

x2 + 2x +1 = 0

solución

(x + 1)2 ≥ 0

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es R

    Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0 R
x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0 R-1
x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1
x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0 vacio

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 = 0

solución


Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R.

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

  Solución
x2 + x +1 ≥ 0 R
x2 + x +1 > 0 R
x2 + x +1 ≤ 0 vacio
x2 + x +1 < 0 vacio