Ecuación reducida de la elipse

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 1

F'(-c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la elipse cumple:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 2

Esta expresión da lugar a:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 3

Realizando las operaciones llegamos a:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 4

Ejemplo

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.




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Semieje mayor

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 6

Semidistancia focal

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Semieje menor

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Ecuación reducida

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 9

Excentricidad

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Ecuación reducida de eje vertical de la elipse

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Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 12

Las coordenadas de los focos son:

F'(0, -c) y F(o, c)

Ejemplo

Dada la ecuación reducida de la elipse Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 13, hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

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Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 16

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 17

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 18

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 19


Ecuación de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:


Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 20

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 21


Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 22

Donde A y B tienen el mismo signo.


Ejemplos

Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

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Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 24

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 25


Dada la elipse de ecuación Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 26, hallar su centro, semiejes, vértices y focos.

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 27

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 28

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 29

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Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 31

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 32

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 33


Ecuación de eje vertical de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:


Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 34

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la elipse - 35