Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

1.

f'(a) = 0

2.

f''(a) > 0

Cálculo de los mínimos de una función

1.

Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

2.

Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de derivada primera y si:

f''(a) > 0 es un mínimo relativo

3.

Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

Ejemplo

f(x) = x3 − 3x + 2

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f''(1) = 6 Mínimo

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)


Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función habrá:

Un mínimo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de decreciente a creciente.

Ejemplo

Hallar los máximos y mínimos de:

Explicaciones y ejemplos de mínimos relativos o locales - 1

Explicaciones y ejemplos de mínimos relativos o locales - 2

Explicaciones y ejemplos de mínimos relativos o locales - 3

Explicaciones y ejemplos de mínimos relativos o locales - 4

Explicaciones y ejemplos de mínimos relativos o locales - 5

Tenemos un mínimo en x = 3

Explicaciones y ejemplos de mínimos relativos o locales - 6Mínimo(3, 27/4)

En x = 1 no hay un máximo porque x = 1 no pertenece al dominio de la función.