Factorizar o descomponer un número en factores primos es expresar el número como un producto de numeros primos.
Factorización de un número
Para factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente.
Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.
432 = 24 · 33
Factorización de un polinomio
Los pasos a seguir para factorizar un polinomio y hallar sus raíces son:
1º Sacar factor común en el caso de que no haya término independiente.
2º Ver si es una diferencia de cuadrados si tenemos un binomio.
3º Comprobar si es un trinomio cuadrado perfecto si es un trinomio.
5º Polinomio de grado superior a dos.
Sacar factor común
Sacar factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.
a · x + b · x + c · x = x (a + b + c)
Una raíz del polinomio será siempre x = 0
x3 + x2 = x2 (x + 1)
La raíces son: x = 0 y x = − 1
Doble extracción de factor comúun
x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)
Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.
a2 − b2 = (a + b) · (a − b)
x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)
Las raíces son X = − 2 y X = 2
Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un un binomio al cuadrado.
a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2
a2 − 2 a b + b2 = (a − b)2
Trinomio de segundo grado
Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = a x2 + bx +c, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:
a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )
Polinomio de grado superior a dos
Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.
Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6
1
Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
2
Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0
3
Dividimos por Ruffini.
4
Por ser la división exacta, D = d · c
(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )
Una raíz es x = 1.
Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.
P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0
P(−1) = 2 · (− 1)3 + 3 ·(− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (2x2 +x −6)
Otra raíz es x = -1.
El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.
El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.
P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0
P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0
P(−2) = 2 · (−2)2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )
Sacamos factor común 2 en último binomio.
2x −3 = 2 (x − 3/2)
La factorización del polinomio queda:
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)
Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2