El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 1

Ejemplos

1.

Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 2

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 3

2.

Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide y = sen x, al girar alrededor del eje OX.

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 4

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 5

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 6

3.

Hallar el volumen del cuerpo revolución engendrado al girar alrededor del eje OX, la región determinada por la función f(x) = 1/2 + cos x, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = π.

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 7

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 8

4.

Hallar el volumen engendrado por el círculo x2 + y2 − 4x = −3 al girar alrededor del eje OX.

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 9

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 10

El centro de la circunferencia es C(0, 1) y el radio r = 1.

Puntos de corte con el eje OX:

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 11

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 12

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 13

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 14

5.

Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2.

Puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 15

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 16

La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 17

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 18

6.

Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 6x − x2, i = x.

Puntos de intersección:

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 19

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 20

La parábola quiera por encima de la recta en el intervalo de integración.

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 21

7.

Calcular el volumen que engendra un triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0) al girar 360° alrededor del eje OX.

Ecuación de la recta que pasa por AB:

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 22

Ecuación de la recta que pasa por BC:

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 23

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 24

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 25

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 26

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 27

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 28

8.

Hallar el volumen de la figura engendrada al girar la elipse Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 29 alrededor del eje OX.

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 30

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 31

Por ser la elipse una curva simétrica, el volumen pedido es 2 en veces el volumen engendrado por el arco Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 32 entre x = 0 y x = a.

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 33

Explicaciones y ejemplos de volumen de una función - 34