Área entre una función y el eje de abscisas
1. La función es positiva
Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.
Ejemplos
1.
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.
2.
Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.·
3.
Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).Ecuación de la recta que pasa por AB:
Ecuación de la recta que pasa por BC:
2. La función es negativa
Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:
Ejemplo
1.
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.2.
Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2.3. La función toma valores positivos y negativos
En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
Ejemplos
1.
Hallar el área limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.2.
Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
Hallamos los nuevos límites de integración.