Vectores en el espacio tridimensional

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

vector en el espacio


Componentes de un vector en el espacio

Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

componentes de un rector

Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar el el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).

triángulo

vectores

vectores

vectores


Módulo de un vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

Cálculo del módulo conociendo sus componentes

vector

módulo del vector

Dados los vectores uy vector, hallar los módulos de vector u y v·

módulo

módulo

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

puntos

módulo del vector


Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

distancia entre dos puntos

Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).

distancia


Vector unitario

Un vector unitario tiene de módulo la unidad.

La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.

normalizar


Operaciones de vectores en el espacio

Suma de vectores

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

suma

suma

Ejemplos

Dados vector u= (2, 1, 3), v = (1, −1, 0), w = (1, 2, 3), hallar el vector vector x = 2u + 3v − w.

vector x = (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)

Dados los vectores vector y vector, hallar el módulo del vector diferencia de vectores.

resta de vectores

módulo

Propiedades de la suma de vectores

Asociativa

u + (v + w ) = (u + v) + v

Conmutativa

u + v = v + u

Elemento neutro

u + 0 = u

Elemento opuesto

u + (− u) = 0


Producto de un número real por un vector

El producto de un número real k pertenece R por un vector vector u es otro vector:

De igual dirección que el vector vector u.

Del mismo sentido que el vector vector u si k es positivo.

De sentido contrario del vector vector u si k es negativo.

De módulo producto

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

producto

Propiedades del producto de un número por un vector

Asociativa

k · (k' · vector u ) = (k · k') · vector u

Distributiva respecto a la suma de vectores

k · ( vector u + v ) = k · vector u + k · v

Distributiva respecto a los escalares

(k + k') · vector u = k · vector u + k' · vector u

Elemento neutro

1 · vector u = vector u

Ejemplo

Dado v = (6, 2, 0) determinar vector u de modo que sea 3vector u = v.

operaciones





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