El producto vectorial o producto cruz de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 1

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 2

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 3

Ejemplos

Calcular el producto vectorial de los vectores Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 4 = (1, 2, 3) y Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 5 = (−1, 1, 2).

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 6

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 7

Dados los vectores Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 8 y Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 9, hallar el producto vectorial de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 10 y Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 11.

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 12

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 13

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 14

El producto vectorial de Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 15 es ortogonal a los vectores Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 16 y Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 17.

Área del paralelogramo

Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 18

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 19

Ejemplo

Dados los vectores Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 20y Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 21, hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 22 y Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 23·

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 24

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 25

Área de un triángulo

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 26

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 27

Ejemplo

Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 28

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 29

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 30

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 31

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 32

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 33

Propiedades del producto vectorial

1.

Anticonmutativa

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 34 x Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 35 = −Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 36 x Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 37

2.

Homogénea

λ (Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 38 x Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 39) = (λExplicaciones y ejemplos de producto vectorial - 40) x Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 41 = Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 42 x (λExplicaciones y ejemplos de producto vectorial - 43)

3.

Distributiva

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 44 x (Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 45 + Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 46 ) = Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 47 x Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 48 + Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 49 x Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 50 ·

4.

El producto vectorial de dos vectores paralelos en igual al vector nulo.

Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 51 Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 52 Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 53 Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 55 x Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 56 = Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 57

5.

El producto vectorial Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 58 x Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 59 es perpendicular a Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 60 y a Explicaciones y ejemplos de producto vectorial - 61.