Dos vectores y con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos.
Las coordenadas del vector respecto a la base son:
Ejemplos
Los dos vectores que forman una base no pueden ser paralelos.
Ejemplo
Qué pares de los siguientes vectores forman una base:
Base ortogonal
Los dos vectores de la base son perpendiculares entre sí.
Base ortonormal
Los dos vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.
Esta base formada por los vectores y se denomina base canónica.
Es la base que se utiliza habitualmente, de modo que si no se advierte nada se supone que se está trabajando en esa base.
Bases en el espacio
Tres vectores , y con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del espacio se puede poner como combinación lineal de ellos.
Las coordenadas del vector respecto a la base son:
Base ortogonal
Una base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí.
Base ortonormal
Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.
Esta base formada por los vectores , y se denomina base canónica.
Ejercicios en el plano
Qué pares de los siguientes vectores forman una base:
Sean los vectores libres = (2, 1), = (1, 4) y = (5, 6). Determinar:
1.
Si forman una base y .2.
Expresar como combinación lineal de los de la base3.
Calcular las coordenadas de C respecto a la base.Las coordenadas de respecto a la base son: (2, 1)
Un vector tiene de coordenadas (3, 5) en la base canónica. ¿Qué coordenadas tendrá referido a la base = (1, 2), = (2, 1)?
(3, 5) = a (1, 2) + b (2, 1)
3 = a + 2b a = 3 - 2b a = 7/3
5 = 2a + b 5 = 2 (3 - 2b) + b b = 1/3
Las coordenadas de en la base B son (7/3, 1/3).
Ejercicios en el espacio
1.
Dados los vectores = (1, 2, 3), = (2, 1, 0) y = (−1, −1, 0), demostrar que dichos vectores forman una base y calcula las coordenadas del vector (1, −1, 0) respecto de dicha base.El sistema homogéneo sólo admite la solución trivial:
Por tanto, los tres vectores son linealmente independientes y forman una base.
Las coordenadas del vector (1, −1, 0) respecto a la base son:.
2.
Dados los vectores: (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1).1
Demostrar que forman una base.Los tres vectores forman una base si son linealmente independientes.
En el sistema homogéneo el rango coincide con el número de incógnitas, por tanto tan sólo admite la solución trivial:
Los vectores son linealmente independientes y, por tanto, forma una base.
2
Hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de esta base.Las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de la base son:
3.
Calcular el valor de a para que los vectores , y formen una base.Si a ≠ 1, los vectores forman una base.