Sucesiones acotadas

Sucesiones acotadas inferiormente

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

an ≥ k

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Toda sucesión sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente y su límite es igual al ínfimo de la sucesión.

Sucesiones acotadas superiormente

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.

an ≤ k'

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Toda sucesión sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente y su límite es igual al supremo de la sucesión.

Sucesiones acotadas

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

k ≤ an ≤ K'


Ejemplos

an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...

El mínimo es 1.

No está acotada superiormente.


bn = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n

Está acotada superiormente

Cotas superiores: -1, 0, 1, ...

El máximo es -1.

No está acotada inferiormente.


cn = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n

Está acotada superiormente

Cotas superiores: 2, 3, 4, ...

El máximo es 2.

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...

El ínfimo es 1.


dn = 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n

No está acotada.


Monotonia

Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo.

0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.

Por tanto la sucesión está acotada.

0.5 < a n ≤ 3


Monotonia y cotas

Está acotada superiormente, 1 es el máximo.

Está acotada inferiormente, -1 es el mínimo.

Está acotada.

−1 ≤a n ≤ 1



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