Límites de sucesiones

Concepto de límite

El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión

Cálculo del término general de una sucesión

a1= 1

a2= 0.5

a1000= 0.001

a1000 000 = 0.000001

El límite es 0.

a1= 0.5

a2= 0.6666....

a1000= 0.999000999001

a1000 000 = 0.999999000001

El límite es 1.

sucesión

a1= 5

a2= 7

a1000= 2 003

a1000 000 = 2 000 003

Ningún número sería el límite de esta sucesión, el límite es .


Límite finito de una sucesión

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |an−L| < ε.

Definición de límite

La sucesión an = 1/n tiene por límite 0.

Definición de límite

Se puede determinar a partir de que término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), por pequeño que éste sea.

Comprobación del límite

Como k>10 a partir del a11 se cumplirá que su distancia 0 es menor que 0.1.

Comprobación del límite

Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que 0.001.

Comprobación del límite

Comprobación del límite

A partir del a1001 se cumplirá que su distancia 0 es menor que 0.001.


También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.

Definición por entorno


Límite infinito de una sucesión

Una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an> M.

llímite en el infinito


El límite de la sucesión an= n2 es +∞.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

infinito

Si M es igual a 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a 10 000.

a101= 1012 = 10 201


Una sucesión an tiene por límite −∞ cuando para toda N >0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an < −N.

llímite en el infinito


Vamos a comprobar que el límite de la sucesión an= −n2 es −∞.

−1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ...

Límite en el infinito

Si N = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a −10 000.

a101= −1012 = −10 201





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