Posiciones de dos rectas

Dos rectas en el plano

Secantes

rectas secantes

Dos rectas son secantes si sólo tienen un punto en común.

El sistema de ecuaciones formado por las dos rectas tiene una solución.


Paralelas

rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto en común.

El sistema de ecuaciones formado por las dos rectas no tiene solución.


Coincidentes

rectas paralelas

Dos rectas son coincidentes si tienen todos los puntos son comunes.

El sistema de ecuaciones formado por las dos rectas tiene infinitas soluciones.


 

Ecuación explícita

r ≡ y = mx + n

s ≡ y = m'x + n'

Ecuación general

r ≡ Ax + By + C =0

s ≡ A'x +B'y + C' =0

r y s secantes m ≠ m' secantes
r y s paralelas m = m'n ≠ n' paralelas
r y s coincidentes m = m'n = n' coincidentes

Ejemplo

Ecuaciones

Ecuaciones

Ecuaciones


Dos rectas en el espacio

Rectas definidas por un punto y un vector

Si la recta r viene determinada por A y vector y la recta s por B y vector, la posición relativa de r y s viene dada por la posición de vectores.

Si vectores linealmente dependientes hay dos posibilidades:

1. Rectas coincidentes si proporción.

 

2. Rectas paralelas si proporciones.

 

Si vectores linealmente dependientes hay otras dos posibilidades:

3. Rectas secantes si determinante.


4. Rectas que se cruzan si determinante.


Rectas definidas por sus ecuaciones implicitas

r s

Si:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posicones relativas de dos rectas vienen dada por la siguiente tabla:

Posición r r'
Cruzadas 3 4
Secantes 3 3
Paralelos 2 3
Coincidentes 2 2

Ejemplos

Hallar la posición relativa de las rectas r y s.

1. rectas

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.

sistema de ecuaciones

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

matrices

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

matrices

Comparamos los rangos

Las dos rectas se cruzan.


2. rectas

sistema

matrices

matrices

Las dos rectas son secantes.





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