Ecuación de la recta

dibujo

Una recta r es el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada vector.

Ecuación vectorial de la recta



recta

Si el punto P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector vector tiene igual dirección que vector, luego es igual a vector multiplicado por un escalar:

igualdad

igualdades

ecuación vectorial de la recta

ecuación vectorial de la recta

Ejemplos

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director vector = (2,5).

solución


La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5) es:

solución

solución


Ecuaciones paramétricas de la recta

Realizando las operaciones indicadas en la ecuación vectorial se obtiene:

ecuación de la recta

operaciones

Igualando, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta.

Ecuaciones paramétricas de la recta


Ejemplos

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director vector = (2,5).

solución


Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5) son:

solución

solución


Ecuación continua de la recta

Si despejamos el parámetro k de las ecuaciones paramétricas e igualamos, obtenemos la ecuación continua de la recta.

operaciones

ecuación continua


Ejemplos

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5).

solución

La ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5) son:

solución

solución


Ecuación punto-pendiente

Partimos de la ecuación continua la recta, quitamos denominadores y despejamos:

operaciones

Como

pendiente

Se obtiene:

Ecuación


Ejemplos

La ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2) es:

solución

solución


La ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tiene una inclinación de 45° es:

solución

solución


Ecuación general o implícita de la recta

Partimos de la ecuación continua la recta

ecuación continua

Quitamos denominadores:

Trasponemos términos:

operaciones

Transformamos:

cambio

Y obtenemos la ecuación general de la recta.

ecuación

Las componentes del vector director son:

vector

La pendiente de la recta es:

pendiente


La ecuación general de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5) es:

soluciónsolución

solución

La ecuación general de la recta de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2 es:

solución

solución


Ecuación explícita de la recta

Si despejamos y en la ecuación general de la recta, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

ecuación

El coeficiente de la x es la pendiente, m.

El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje de ordenadas.


La ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2 es:

solución

solución


Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Si los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) determina una recta r. el vector director de la recta es:

vector

cuyas componentes son:

componentescomponentes

Sustituyendo estos valores en la ecuación continua, obtenemos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

ecuación


La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5) es:

solución


Ecuación canónica o segmentaria

gráfica

Ecuación canónica o segmentaria


La ecuación canónica de la recta que pasa por P(−2, 1) y tiene por vector director v = (3, −4) es:

Ecuación continua

−4x −8 = 3y -3 4x + 3y + 5 = 0

Si y = 0 flechas x = −5/4 = a.

Si x = 0 flechas y = −5/3 = b.

Ecuación canónica o segmentaria


Ecuación normal de la recta

dibujo

Los puntos A y X de la recta r determinan el vector:

vector = (x - a1, y - a2)

El vector n es un vector unitario y perpendicular a r.

Si las componentes del vector director de r son (-B, A), las componentes de su vector perpendicular correspondiente son: (A, B).

Por tanto las componentes del vector unitario y perpendicular serán

n

Como vector y n son perpendiculares, su producto escalar es cero:

Operaciones

Operaciones

Si en la ecuación general sustituimos las coordenadas del punto A, obtenemos:

Operaciones

Ecuación normal


Ejemplo

La ecuación normal de la recta r ≡ 12x - 5y +26 = 0 es:

ecucación normal

ecucación normal


Otra forma de expresar la ecuación normal de la recta es:

Ecuación normal

Ecuación normal


Ejemplo

La ecuación de una recta perpendicular al segmento de extremos A(5, 6) y B(1,8) en su punto medio es:

punto medio

vector

Este vector es perpendicular a la recta buscada.

ecuación normal





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