Una recta r es el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada .
Ecuación vectorial de la recta
Si el punto P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual dirección que , luego es igual a multiplicado por un escalar:
Ejemplos
Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5).
La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5) es:
Ecuaciones paramétricas de la recta
Realizando las operaciones indicadas en la ecuación vectorial se obtiene:
Igualando, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta.
Ejemplos
Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5).
Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5) son:
Ecuación continua de la recta
Si despejamos el parámetro k de las ecuaciones paramétricas e igualamos, obtenemos la ecuación continua de la recta.
Ejemplos
Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5).
La ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5) son:
Ecuación punto-pendiente
Partimos de la ecuación continua la recta, quitamos denominadores y despejamos:
Como
Se obtiene:
Ejemplos
La ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2) es:
La ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tiene una inclinación de 45° es:
Ecuación general o implícita de la recta
Partimos de la ecuación continua la recta
Quitamos denominadores:
Trasponemos términos:
Transformamos:
Y obtenemos la ecuación general de la recta.
Las componentes del vector director son:
La pendiente de la recta es:
La ecuación general de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5) es:
La ecuación general de la recta de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2 es:
Ecuación explícita de la recta
Si despejamos y en la ecuación general de la recta, se obtiene la ecuación explícita de la recta:
El coeficiente de la x es la pendiente, m.
El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje de ordenadas.
La ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2 es:
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Si los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) determina una recta r. el vector director de la recta es:
cuyas componentes son:
Sustituyendo estos valores en la ecuación continua, obtenemos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5) es:
Ecuación canónica o segmentaria
La ecuación canónica de la recta que pasa por P(−2, 1) y tiene por vector director v = (3, −4) es:
−4x −8 = 3y -3 4x + 3y + 5 = 0
Si y = 0 x = −5/4 = a.
Si x = 0 y = −5/3 = b.
Ecuación normal de la recta
Los puntos A y X de la recta r determinan el vector:
= (x - a1, y - a2)
El vector es un vector unitario y perpendicular a r.
Si las componentes del vector director de r son (-B, A), las componentes de su vector perpendicular correspondiente son: (A, B).
Por tanto las componentes del vector unitario y perpendicular serán
Como y son perpendiculares, su producto escalar es cero:
Si en la ecuación general sustituimos las coordenadas del punto A, obtenemos:
Ejemplo
La ecuación normal de la recta r ≡ 12x - 5y +26 = 0 es:
Otra forma de expresar la ecuación normal de la recta es:
Ejemplo
La ecuación de una recta perpendicular al segmento de extremos A(5, 6) y B(1,8) en su punto medio es:
Este vector es perpendicular a la recta buscada.