Proporcionalidad

Magnitud

Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente.

Son magnitudes:

La longitud del lado un cuadrado.

La capacidad de una botella de agua.

Razón

Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción.

razón

Los términos de una razón se llaman: antecedente y consecuente. El antecedente es el dividendo y el consecuente es el divisor.

Diferencia entre razón y fracción

La razón en los lados de un rectángulo de 5 cm de altura y 10 cm de base es: razón

No hay que confundir razón con fracción.

Si razón es una fracción, entonces a y b son números enteros con b≠0, mientras que en la razón razón los números a y b pueden ser decimales.


Proporción

Una proporción es una igualdad entre dos razones.

proporción

Constante de proporcionalidad

Constante de proporcionalidad

Propiedades de las proporciones

En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos.

igualar

proporción

En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.

 propiedad

Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía.

proporciones

Cuarto proporcional

Es uno cualquiera de los términos de una proporción.

Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos.

cuarto proporcional

cuarto proporcional

Medio proporcional

Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos.

medio proporcional

Tercero proporcional

En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales.

Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el término desigual.

tercero proporcional


Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.

Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:

A más corresponde más.

A menos corresponde menos.

Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio.


Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número.

Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando:

A más corresponde menos.

A menos corresponde más.

Son magnitudes inversamente proporcionales, la velocidad y el tiempo:

A más velocidad corresponde menos tiempo.

A menos velocidad corresponde más tiempo.


Regla de tres directa

Regla de tres  directa

Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?

Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros.

240 kmflecha 3 h

x   km  flecha 2 h

Regla de tres simple inversa

Regla de tres simple inversa

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.

3 obreros flecha 12 h

6 obreros  flecha    x h

solución

Regla de tres compuesta

Regla de tres compuesta directa

Regla de tres compuesta directa

Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.

9 grifos  flecha 10 horas flecha 20 €

15 grifos flecha 12 horas  flecha   x €

solución

solución

Regla de tres compuesta inversa

Regla de tres compuesta inversa

5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?

5 obreros  flecha 6 horas flecha 2 días

4 obreros flecha 7 horas  flecha   x días

operaciones

Regla de tres compuesta mixta

Regla de tres compuesta

Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?

8 obreros    flecha 9 días flecha 6 horas flecha 30 m

10 obreros flecha x días flecha 8 horas flecha 50 m

resolución

Repartos directamente proporcionales

Porcentajes

Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €. Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?

fórmula

solución

solución

solución


Repartos inversamente proporcionales

Repartos inversamente proporcionales

Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.

inversos

común denominador

planteamiento

solución

solución

solución


Porcentajes

Porcentajes

Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

100 €   flecha7.5 €

8800 € flecha x €

resolución

8800 € − 660 € = 8140 €


Porcentajes

El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?

100 €   flecha116 €

1200 € flecha x €

resolución





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