Probabilidad

Experimentos aleatorios

Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.

Ejemplos

Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.

Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

Teoría de probabilidades

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:

Suceso

Un suceso es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Al lanzar una moneda salga cara.

Al lanzar una moneda se obtenga 4.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

Espacio muestral de una moneda:

E = {C, X}.

Espacio muestral de un dado:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso aleatorio

Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.


Axiomas de la probabilidad

1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.

0 ≤ p(A) ≤ 1

2. La probabilidad del suceso seguro es 1.

p(E) = 1

3.Si A y B son incompatibles, es decir A intersección B = Conjunto vacio entonces:

p(A unión B) = p(A) + p(B)


Propiedades de la probabilidad

1 La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:

Probabilidad del suceso contrario

2 Probabilidad del suceso imposible es cero.

Probabilidad del suceso imposible

3 La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección.

unión

4 Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.

unión

5 Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:

unión

6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:

unión

Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:

P(par) = P(2) + P(4) + P(6)


Regla de Laplace

Dado un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:

Laplace


Probabilidad de la unión de sucesos

Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles

A intersección B = Conjunto vacio

p(A unión B) = p(A) + p(B)

Calcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado.

incompatibles

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles

A intersección B ≠ Conjunto vacio

p(A unión B) = p(A) + p(B) − p(A intersección B)

p(A unión B unión C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(A intersección B) − p(A intersección C) − p(B intersección C) + p(A intersección B intersección C)

Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 ó un 6 al lanzar un dado.

compatibles


Probabilidad condicionada

Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.

Se llama probabilidad del suceso A condicionada al B y se representa por P(A/B) a la probabilidad del suceso A una vez ha ocurrido el B.

condicionada

Ejemplo

Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.

condicionada

Sucesos independientes

Dos sucesos A y B son independientes si

p(B/A) = p(B)

Sucesos dependientes

Dos sucesos A y B son dependientes si

p(B/A) ≠ p(B)


Probabilidad compuesta

Probabilidad de la intersección de sucesos independientes

p(A intersección B) = p(A) · p(B)

Ejemplo

Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?

solución

Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes

p(A intersección B) = p(A) · p(B/A)

Ejemplo

Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?

solución

Probabilidad de la diferencia de sucesos

Probabilidad de la diferencia de sucesos


Teorema de la probabilidad total

Si A 1, A 2 ,... , A n son:

Sucesos incompatibles 2 a 2.

Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E).

Y B es otro suceso.

Resulta que:

p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )

Ejemplo

Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales a y cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

árbol

solución


Teorema de Bayes

Si A 1, A 2 ,... , An son:

Sucesos incompatibles 2 a 2.

Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E).

Y B es otro suceso.

Resulta que:

Bayes

Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori.

Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori.

Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.

Ejemplos

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

árbol

solución







  • Subir

Cursos de Matemáticas e Inglés