Los polinomios son expresines algebraicas de la forma:
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0
P(x) = 5x4 − 3x3 + 2x2 + 7x + 6
Los coeficientes del polinomio son los números que aparece multiplicando a la variable.
Al témino sin x se le llama término independiente.
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.
Tipos de polinomios
Monomio
Es un polinomio que consta de un sólo monomio.
P(x) = 2x2
Binomio
Es un polinomio que consta de dos monomios.
P(x) = 2x2 + 3x
Trinomio
Es un polinomio que consta de tres monomios.
P(x) = 2x2 + 3x + 5
Polinomio de grado cero
P(x) = 2
Polinomio de primer grado
P(x) = 3x + 2
Polinomio de segundo grado
P(x) = 2x2 + 3x + 2
Polinomio de tercer grado
P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2
Polinomio de cuarto grado
P(x) = x4 + x3 − 2x2+ 3x + 2
Polinomio nulo
El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio homogéneo
El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo
Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 − 3
Polinomio completo
Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x − 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
1
Los dos polinomios tienen el mismo grado.2
Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x − 3 + 2x3
Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3
1
Ordenamos los polinomios, si no lo están.Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)
2
Agrupamos los monomios del mismo grado.P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
3
Sumamos los monomios semejantes.P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = 2x5 + 2x3 −x − 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
División por Ruffini
Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini.
Resolver por la regla de Ruffini la división:
(x4 −3x2 +2 ) : (x −3)
1
Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.2
Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.3
Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.4
Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.5
Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.6
Sumamos los dos coeficientes.7
Repetimos el proceso anterior.Volvemos a repetir el proceso.
Volvemos a repetir.
8
El último número obtenido, 56 , es el resto.9
El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.x3 + 3 x2 + 6x +18
Binomio al cuadrado
Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2x − 3)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 + 12 x + 9
Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x − 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25
Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
(2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 − 33 =
= 8x 3 − 36 x2 + 54 x − 27
Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c >
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (−x)2 + 12 + 2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =
= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =
= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 − 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6