Factorización de un polinomio

Los pasos a seguir para factorizar un polinomio y hallar sus raíces son:

Sacar factor común en el caso de que no haya término independiente.

Ver si es una diferencia de cuadrados si tenemos un binomio.

Comprobar si es un trinomio cuadrado perfecto si es un trinomio.

Trinomio de segundo grado.

Polinomio de grado superior a dos.


Sacar factor común

Sacar factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · x + b · x + c · x = x (a + b + c)

Una raíz del polinomio será siempre x = 0

x3 + x2 = x2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1

Doble extracción de factor comúun

x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)


Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)

Las raíces son X = − 2 y X = 2


Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un un binomio al cuadrado.

a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2

trimomio

a2 − 2 a b + b2 = (a − b)2

trimomio


Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = a x2 + bx +c, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:

a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )

trinomio

trinomio

ecuación de 2º grado

factorización


Polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras.

Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6

1Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3Dividimos por Ruffini.

Ruffini

4Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1)3 + 3 ·(− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

Ruffini

(x −1) · (x +1) · (2x2 +x −6)

Otra raíz es x = -1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.

P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

Ruffini

(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )

Sacamos factor común 2 en último binomio.

2x −3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2


Todas las raíces son racionales

Puede suceder que el polinomio no tenga raíces enteras y sólo tenga raíces racionales.

En este caso tomamos los divisores del término independiente dividido entre los divisores del término con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

P(x) = 12x3 + 8x2 − 3x− 2

Probamos por: divisores.

teorema del resto

Ruffini

Factorización

T. del  resto

T. del resto

Ruffini

Factorización

Sacamos factor común 12 en el tercer factor.

Factorización





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