Números complejos

Números complejos en forma binómica

Un número complejo en forma binómica es a + bi.

El número a es la parte real del número complejo.

El número b es la parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real, ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.


El conjunto de los números complejos se designa por complejo.

complejos

Operaciones de complejos en forma binómica

Suma de números complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i


Resta de números complejos

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i


( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i


Multiplicación de números complejos

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =

=10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i


División de números complejos

cociente

división


Números complejos en forma polar

Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

complejo

módulo

gráfica

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

complejos.

Expresión de un número complejo en forma polar.

z = rα

|z| = r r es el módulo.

arg(z) = alfaalfa es el argumento.


Operaciones de complejos en forma polar

Multiplicación de complejos en forma polar

producto

645° · 315° = 1860°


Producto por un complejo de módulo 1

Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del origen.

rα · 1β = rα + β


División de complejos en forma polar

cociente

645° : 315° = 230°


Potencias de complejos en forma polar

potencia

(230°)4 = 16120°

Fórmula de Moivre

Fórmula de Moivre

Raíz de complejos en forma polar

módulo

argumento

k = 0,1 ,2 ,3, … (n-1)


raíz

módulo

módulo

argumento

solución


Números complejos en forma trigonométrica

r (cos α + i sen α)

gráfica

relaciones

Binómica z = a + bi
Polar z = rα
trigonométrica z = r (cos α + i sen α)

Pasar a la forma polar y trigonométrica:

complejo

módulo

argumento

z = 260º

z = 2 · (cos 60º + i sen 60º)


complejo

módulo

argumento

z = 2120º

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)


complejo

módulo

argumento

z = 2240º

z = 2 · (cos 240º + i sen 240º)


complejo

módulo

argumento

z = 2300º

z = 2 · (cos 300º + i sen 300º)


z = 2

módulo

argumento

z = 2

z = 2 · (cos 0º + i sen 0º)


z = −2

módulo

argumento

z = 2180º

z = 2 · (cos 180º + i sen 180º)


z = 2i

módulo

argumento

z = 290º

z = 2 · (cos 180º + i sen 180º)


z = −2i

módulo

argumento

z = 2270º

z = 2 · (cos 270º + i sen 270º)


Escribe en forma binómica:

z = 2120º

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)

a

b

binómica


z =1 = 1

z =1180º = −1

z =190º = i

z =1270º = −i