Números complejos en forma polar

Un número complejo en forma polar consta de dos componentes: módulo y argumento.

Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

complejo

módulo

gráfica

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

complejos.

Expresión de un número complejo en forma polar.

z = rα

|z| = r r es el módulo.

arg(z) = alfaalfa es el argumento.

Ejemplos

Pasar a la forma polar:

complejo

módulo

argumento

z = 260º


complejo

módulo

argumento

z = 2120º


complejo

módulo

argumento

z = 2240º


complejo

módulo

argumento

z = 2300º


z = 2

módulo

argumento

z = 2


Operaciones de complejos en forma polar

Multiplicación

La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el producto de los módulos.

Su argumento es la suma de los argumentos.

producto

645° · 315° = 1860°


Producto por un complejo de módulo 1

Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del origen.

rα · 1β = rα + β

gráfica

División

La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el cociente de los módulos.

Su argumento es la diferencia de los argumentos.

cociente

645° : 315° = 230°

Potencias

La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:

Su módulo es la potencia n-ésima del módulo.

Su argumento es n veces el argumento dado.

potencia

(230°)4 = 16120°


Fórmula de Moivre

Fórmula de Moivre

Raíz

raíz

La raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que:

Su módulo es la en raíz enésima del módulo.

módulo

Su argumento es:

argumento

k = 0,1 ,2 ,3, … (n-1)


raíz

módulo

módulo

argumento

solución

gráfica





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