Cambio de variable

El cambio de variable es una técnica que nos permite pasar de una ecuación o integral complicada a otra más sencilla.

Los cambios de variable más frecuentes se suelen dar en:

Ecuaciones bicuadradas.

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales.

Ecuaciones logarítmicas.

Integrales.

 

Cambio de variable en las ecucaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar:

ax4 + bx2 + c = 0

Para resolver ecuaciones bicuadradas, efectuamos el cambio x2 = t, x4 = t2; con lo que genera una ecuación de segundo grado con la incógnita t:

at2 + bt + c = 0

Por cada valor positivo de t habrá dos valores de x:

raíz

ecuación

cambio

cambio

cambio

cambio

El mismo procedimiento podemos utilizar para resolver las ecuaciones del tipo:

ax6 + bx3 + c = 0

ax8 + bx4 + c = 0

ax10 + bx5 + c = 0

ecuación

ecuación

solución

solución

solución


Cambio de variable en las ecucaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales

ecuación

ecuación

ecuación

ecuación

ecuación

ecuación

ecuación

ecuación

ecuación

ecuación

ecuación

ecuación

ecuación

ecuación

ecuación

sistema

sistema

sistema

sistema

sistema

sistema

sistema

sistema


Cambio de variable en las ecucaciones logarítmicas

ecuación

 ecuación

ecuación

ecuación

ecuación


Integrales por cambio de variable


El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

integral por sustitución

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

integral

Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

cambio

diferenciar

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

sustituir en la integral

Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

integral

Se vuelve a la variable inical:

cambio de variable


Ejemplo

integral

cambio de variable

cambia variable

integral

integral

cambie variable

solución


Cambios de variables

1. cambio de variable x = a sen t

2. cambio de variable x = a tg t

3. cambio de variable x = a sec t

4. cambio de variable t = radicando

5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.

6. Si racional que una métrica par es par:

cambio de variable

7. Si racional que una métrica par no es par:

cambie variable


Ejemplos

integral

cambie variable

camero variable

integral

integral

cambie variable

operaciones

cambie variable

operaciones

operaciones

solución

integral

cambie variable

operaciones

solución

integral

cambio de variable

operaciones

solución

integral

cambio de variable

cambio de variable

integral

sangre variable

integral

integral

cambie variable

integral

integral

cambio de haber cambio de variable

solución

solución

integra

cambio variable

cambio de variables

sustitución

operaciones

operaciones

operaciones

cambie variable

solución





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