Cálculo integral

Integrales inmediatas

integral de x

integral de una constante

integral de una potencia

integral

integral exponencial

integral exponencial

integral del seno

integral del coseno

integral de la tangente

integral de la cotangente

integral del arco seno

integral del arco tangente


Integrales trigonométricas

Potencias pares de sen x o cos x

Se aplica el seno y coseno del ángulo mitad:

seno y coseno del ángulo mitad

integral de coseno cuadrado de X

integral de coseno cuadrado de X

integral de coseno cuadrado de X


Potencias impares de sen x o cos x

Se relacionan el seno y el coseno mediante la fórmula:

relación entre el seno y arcoseno

integral de seno al cubo de X

integral de seno al cubo de X

integral de seno al cubo de X


Con exponente par e impar

El exponente impar se transforma en uno par y otro impar.

de seno a la quinta y con seno al cuadrado

solución

solución

solución

solución

solución


Productos de tipo sen(nx) · cos(mx)

Se transforman los productos en sumas:

Transformaciones de productos en sumas

Transformaciones de productos en sumas

Transformaciones de productos en sumas

Transformaciones de productos en sumas


integral de escena y coseno

solución


Integrales por partes

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

fórmula de la integral por partes

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.


Ejemplo

integral

derivar

integrar

solución


Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

integral

derivar

integrar

integral

derivar

integrar

integral

operaciones

derivar

integrar

integral

solución


Integrales racionales

En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.

integral de la división

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:

1º Integrales racionales con raíces reales simples

La fracción fracción polinómica puede escribirse así:

igualdad

Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.

Ejemplo

integral

división

descomposición

fracciones

Se efectúa la suma:

igualdad

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

igualdad

Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador.

B

A

solución


2º Integrales racionales con raíces reales múltiples

La fracción fracción polinómica puede escribirse así:

igualdad

Ejemplo

integral

descomposición del denominador

fracciones

igualdad

Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al denominador y otro más.

C

A

B

integral

solución


3º Integrales racionales con raíces complejas simples

La fracción fracción polinómica puede escribirse así:

igualdad

Esta integral se descompone en una de tipo lograritmico y otra de tipo arcotangente.

Ejemplo

integral

fracciones

igualar

Hallamos los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes:

operaciones

coeficiente

coeficiente

coeficiente

integral

solución


Integrales por cambio de variable

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

integral por sustitución

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

integral

Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

cambio

diferenciar

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

sustituir en la integral

Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

integral

Se vuelve a la variable inical:

cambio de variable


Ejemplo

integral

cambio de variable

cambia variable

integral

integral

cambie variable

solución


Cambios de variables usuales

1. cambio de variable x = a sen t

2. cambio de variable x = a tg t

3. cambio de variable x = a sec t

4. cambio de variable t = radicando

5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.

6. Si racional que una métrica par es par:

cambio de variable

7. Si racional que una métrica par no es par:

cambie variable






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