Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.
Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.
Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.
El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).
También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes.
Se puede calcular el rango de una matriz por dos métodos:
1º. Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss
Podemos descartar una línea si:
Todos sus coeficientes son ceros.
Hay dos líneas iguales.
Una línea es proporcional a otra.
Una línea es combinación lineal de otras.
F3 = 2F1
F4 es nula
F5 = 2F2 + F1
r(A) = 2.
En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.
F2 = F2 - 3F1
F3 = F3 - 2F1
Por tanto r(A) = 3.
2º. Cálculo del rango de una matriz por determinantes
El rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.
1.
Podemos descartar una línea si:.
Todos sus coeficientes son ceros.
Hay dos líneas iguales.
Una línea es proporcional a otra.
Una línea es combinación lineal de otras.
Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1 + c2
2.
Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo.
|2|=2≠0
3.
Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.
4.
Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.
Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango 3, por tanto r(B) = 2.
5.
Si tiene rango 3 y existe alguna submatriz de orden 4, cuyo determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4..