Rango de una matriz

Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.

Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).

También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes.

Se puede calcular el rango de una matriz por dos métodos:


1º. Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss

Podemos descartar una línea si:

Todos sus coeficientes son ceros.

Hay dos líneas iguales.

Una línea es proporcional a otra.

Una línea es combinación lineal de otras.

rango

F3 = 2F1

F4 es nula

F5 = 2F2 + F1

r(A) = 2.

En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.

rango

F2 = F2 - 3F1

F3 = F3 - 2F1

rango

Por tanto r(A) = 3.


2º. Cálculo del rango de una matriz por determinantes

El rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.

matriz

1. Podemos descartar una línea si:.

Todos sus coeficientes son ceros.

Hay dos líneas iguales.

Una línea es proporcional a otra.

Una línea es combinación lineal de otras.

Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1 + c2

matrices

2. Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo.

|2|=2≠0

3. Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

determinante

4. Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango 3, por tanto r(B) = 2.

5. Si tiene rango 3 y existe alguna submatriz de orden 4, cuyo determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4..





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