Discontinuidad

Una función es discontinua en un punto, x = a, si:

1.El punto, x = a, no tiene imagen.

Condiciones

función discontinua

La función es discontinua en x = 2 porque no existe imagen.

función discontinua

2. Que no exista el límite de la función en el punto x = a.

Condiciones

Condiciones

función discontinua

La función es discontinua en x = 2 porque no tiene límite.

función discontinua

3. Que la imagen del punto no coincida con el límite de la función en el punto.

Condiciones

función discontinua

La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite.

función discontinua


Tipos de discontinuidad

Existen tres tipos de discontinuidad:

1. Discontinuidad evitable

Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe límite y éste es finito.

Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad evitable:

1. La función no está definida en x = a.

imagen

función discontinua

función discontinua

límite

imagen

2. La imagen no coincide con el límite.

2

función discontinua

función discontinua

imagen

imagen

Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua.

La dos funciones estudiadas anteriormente las redefinimos de modo que:

Condiciones

Función

gráfica


2. Discontinuidad inevitable

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos.

D.inevitable

Salto

Salto es la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.

Salto

Según el tipo de salto nos encontramos con dos tipos de discontinuidad inevitable:

1. Discontinuidad inevitable de salto finito

La diferencia entre los límites laterales es un número real.

Discontinuidad inevitable de salto finito

función discontinua

Discontinuidad inevitable de salto finito

función discontinua

En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito 3.

2. Discontinuidad inevitable de salto infinito

La diferencia entre los límites laterales es infinito.

Discontinuidad inevitable de salto infinito

D.inevitable de salto infinito

Discontinuidad inevitable de salto finito

Discontinuidad inevitable de salto infinito

En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.


3. Discontinuidad esencial

Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a.

D.esencial

D.esencial

Discontinuidad esencial

En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la derecha.

D.esencial

D.esencial

Discontinuidad esencial

En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la izquierda.







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