Continuidad

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Función continua

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

Condiciones

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

Condiciones

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Condiciones


Estudiar la continuidad de Función en x =2

f(2)= 4

límite

límite

gráfica continua

Continuidad lateral

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si:

Condiciones

gráfica

Condiciones

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto x = a si:

Condiciones

gráfica

Condiciones

Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha:

Condiciones

gráfica continua

Condiciones


Continuidad de una función

Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.

grafica

La función función es continua en R − {3}. En x = 3 no es continua porque no está definida.

Funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.

La función Función es continua en R.

Porue las funciones que la componen son polinómicas y los límites laterales en los puntos de división coinciden.

gráfica

Operaciones con funciones continuas

Si f y g son continuas en x=a, entonces:

f + g es continua en x = a.

f · g es continua en x = a.

f / g es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.

f ο g es continua en x = a.