Ecuación de la elipse

Ecuación reducida de la elipse

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

elipse

F'(-c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la elipse cumple:

igualdad

Esta expresión da lugar a:

igualdad

Realizando las operaciones llegamos a:

ecuación


Ejemplo

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.




elipse

Semieje mayor

semieje menor

Semidistancia focal

c

Semieje menor

b

Ecuación reducida

ecuación

Excentricidad

e


Ecuación reducida de eje vertical de la elipse

elipse

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

ecuación

Las coordenadas de los focos son:

F'(0, -c) y F(o, c)

Ejemplo

Dada la ecuación reducida de la elipse ecuación, hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

solución

solución

solución

solución

solución

solución


Ecuación de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:


dibujo

ecuación


Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

ecuación

Donde A y B tienen el mismo signo.


Ejemplos

Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

solución

solución

solución


Dada la elipse de ecuación ecuación, hallar su centro, semiejes, vértices y focos.

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución


Ecuación de eje vertical de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:


dibujo

ecuación





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