Determinantes

A cada matriz cuadrada A se le asocia un número denominado determinante de A.

El determinante de A se denota por |A| o por det (A).

A = determinante

Determinante de orden uno

  |a 11| = a 11

  |5| = 5

Determinante de orden dos

determinante de orden dos = a 11 a 22 - a 12 a 21

determinante de orden 2

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

determinante de orden 3 =

= a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 -

- a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.

determinante de orden 3 =

3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -

- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).


Regla de Sarrus

La regla de Sarrus es una utilidad para calcular determinantes de orden 3.

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

positivo


Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

negativo

Ejemplo

sarrus


Menor complementario de un elemento de un determinante

Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.

  menor complemtario


Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:

El signo es +    si  i+j  es par.

El signo es -    si  i+j  es impar.

adjunto

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes:


desarrollo de un determinante  

desarrollo de un determinante


Cálculo por adjuntos Cálculo por adjuntos Cálculo por adjuntos Cálculo por adjuntos

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63


Cálculo de un determinante de cualquier orden

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1 .

Seguiremos los siguientes pasos:

1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

Determinante de orden 4

2.En caso negativo:

1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela ).

Determinante

2.Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.

Determinante

3.Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

Operaciones

4.Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.

Adjunto = 2(-58)


Propiedades de los determinantes

1.|At|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

Determinantes

Determinantes

2. |A|=0    Si:

Posee dos líneas iguales

Determinantes

Todos los elementos de una línea son nulos.

Determinantes

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

Determinantes

F3 = F1 + F2


3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

Determinantes


4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

Determinantes


5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

DETERMINANTE DETERMINANTE


6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

DETERMINANTE


7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

DETERMINANTE


8. |A·B| =|A|·|B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.





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