Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.

El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.


Ejemplos

Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones:

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En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

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La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.

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Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 4

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

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La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

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Como no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x = 1.

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f(x) = x2 en x = 0.

La función es continua en x= 0, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

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En x = 0 la función es continua y derivable.

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Dada la función:

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¿Para qué valores de a es derivable?

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Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

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Determinar los valores de a y b para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

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Para qué una función derivable tiene que ser continua En este caso la función no es continua para x = 0 cualesquiera que sean a y b, es decir, no existen valores de a y b que hagan continua la función.

Por tanto, no existen a y b para los cuales la función sea derivable.


Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

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Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

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La función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.

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Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 45

Por lo que es continua, veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas trigonómetricas inmediatas.

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Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 47

Como las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.