Combinatoria

La Combinatoria estudia las ordenaciones o agrupaciones de un determinado número de elementos.

En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir:

1. Población

Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto.

2. Muestra

Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra.

Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos:

Orden

Es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.

Repetición

La posibilidad de repetición o no de los elementos.

Factorial de un número natural

Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!.

Factorial

Factorial

Factorial


Variaciones

Variaciones ordinarias

Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:

No entran todos los elementos.

importa el orden.

No se repiten los elementos.

Variaciones

Variaciones

También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:

Variaciones

Variaciones

Las variaciones se denotan por variaciones


Variaciones con repetición

Se llamann variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

No entran todos los elementos si m > n. pueden entrar todos los elementos si m ≤ n

importa el orden.

se repiten los elementos.

Variaciones con repetición

solución


Permutaciones

Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que:

entran todos los elementos.

importa el orden.

No se repiten los elementos.

Permutaciones

Permutaciones


Permutaciones circulares

Es un caso particular de las permutaciones.

Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

Permutaciones circulares

PC7= (7 − 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720


Permutaciones con repetición

Permutaciones con repetición de m elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...(m = a + b + c + ... = n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que :

entran todos los elementos.

importa el orden.

se repiten los elementos.

Permutaciones con repetición

permutaciones


Combinaciones

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

Combinaciones

Combinaciones

También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

Combinaciones

Las combinaciones se denotan por variaciones


Combinaciones con repetición

Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

se repiten los elementos.

Combinaciones con repetición

solución


Números combinatorios

El número  combinaciones  se llama también número combinatorio. Se representa por número combinatorio y se lee "m sobre n".

número condenatorio

número combinatorio

Propiedades de los números combinatorios

1. propiedades

2.números combinatorios complementarios

Los números de este tipo se llaman complementarios.

3.propiedad

propiedad


Triángulo de Pascal o de Tartaglia

El triángulo de números combinatorios de Tartaglia o de Pascal (debido a que fue este matemático quien lo popularizó) es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico, del que podemos ver sus primeras líneas:

números combinatorios

Propiedades del Triángulo de Pascal o de Tartaglia

1. La primera fila corresponde a los números combinatorios de 1, el número superior es un 1, la segunda de 2, la tercera de 3 y así sucesivamente.

2.Todas la filas empiezan y acaban en 1.

propiedades

3.Todas las filas son simétricas.

números combinatorios complementarios

4.Cada número se obtiene sumando los dos que están situados sobre él.

Aplicando estas propiedades podemos escribir el triángulo de Pascal:

Triángulo de Pascal o de Tartaglia

El triángulo de Pascal o de Tartaglia nos será muy útil para calcular los coefecientes del binomio de Newton.





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